с 01.09.2017 по настоящее время Аксай, Ростовская область, Россия
с 01.09.2017 по настоящее время Ростов-на-Дону, Ростовская область, Россия
с 01.09.2017 по настоящее время Таганрог, Ростовская область, Россия
УДК 51 Математика
ГРНТИ 27.01 Общие вопросы математики
ОКСО 01.04.01 Математика
ББК 221 Математика
ТБК 611 Математика
В данной статье рассматривается производственная функция Кобба-Дугласа. Приведена история появления данного математико-экономического показателя и доказана необходимость его применения на практике. Дан анализ основных положений относительно функции, охарактеризованы ее составляющие. Решена задача, доказывающая простоту и полезность применения функции.
производственная функция, выпуск продукции, издержки, эффективность, объем производства, ресурсы, капитал, труд, эластичность, полезность
Любое предприятие ставит для себя одной из главных следующую цель: увеличение собственной прибыли. Для того чтобы осуществить эту цель необходимо увеличить выпуск продукции или уменьшить издержки ресурсов. Процесс, который связан с изготовлением продукции предприятия, отображает производственная функция. Так же эта функция отражает способ создания доходов на предприятии во время выпуска продукции. Производственная функция имеет две составляющие: изменение объема товаров и продуктивности.
Производственная функция Кобба-Дугласа, можно сказать, является первой функцией объединенного производства. Родоначальником этой функции можно назвать Кнута Викселя, но в жизнь она вступила только после проверки в 1928 году, проведенной Чарльзом Коббом и Полом Дугласом. Данная функция дала возможность моделировать целые отрасли, а не только мелкомасштабные процессы. Данная функция сделала возможным оценку эффективности производства всего государственного хозяйства, и тем самым она открыла новую страницу в развитии макроэкономики [1, c.634].
Для того чтобы подробнее поговорить о производственной функции Кобба-Дугласа необходимо для начала разобраться со назначением самой производственной функции.
Цена на товары и услуги формируется с помощью соотношения спроса и предложения на эти товары и услуги. Производственная функция выступает в роли количественной характеристики предложения или объёма производства и стоимости товаров. Процесс производства является одним из главных факторов оказывающих влияние на благосостояние общества, то есть степень благосостояния и развития общества возрастает, если возрастает уровень удовлетворения потребностей населения и отдельных индивидов и количество среднего класса в общей численности населения страны [2, c.23].
Объяснение роста благосостояния населения и отдельных индивидов в процессе выпуска продукции и является главной задачей производственной функции. А значение производственной функции заключается в создании экономико-математических моделей, которые отражают зависимость объёма производства от его разнообразных факторов.
Модели такого типа включают в себя следующие показатели:
Объём производства;
Объёмы ресурсов необходимых для производства.
Можно выделить следующие виды производственных функций:
Однофакторные производственные функции. Эти функции устанавливают зависимость объёма производства от одного фактора. К таким функциям относятся функции: линейная, параболическая, степенная, показательная.
Двухфакторные производственные функции. Эти функции устанавливают зависимость объёма производства от соотношения двух факторов. К таким функциям относятся функции: Кобба Дугласа, Леонтьева, Солоу, Аллена [3, c.147].
Теперь, наконец, перейдем к рассмотрению производственной функции Кобба-Дугласа.
Особенностью функции Кобба-Дугласа является то, что в ней двумя основными факторами производства являются капитал и труд. Определенное сочетание данных ресурсов даёт возможность для получения продукта. Назначение функции заключается в следующем: функция отображает технологическое соотношение объема труда и капитала, которое является необходимым для производства товаров в необходимом количестве.
Функция Кобба-Дугласа относится к двухфакторным функциям. Как уже говорилось ранее, данная функция была предложена Кнутом Векселем, но в силу вступила после проверки Чарльзом Коббом и Полом Дугласом. Именно поэтому фамилии этих двух ученых дали название функции [4, c.128].
Также термин «производственная функция Кобба-Дугласа» в узком смысле применяется для обозначения постоянной отдачи от масштаба.
Производственная функция Кобба-Дугласа отражает зависимость выпуска определенного вида товара от соотношения двух факторов: капитала и труда. В общем виде формула выглядит следующим образом:
Y=A*L*K,
Где:
Y – общий объем выпуска продукции;
L – затраченный ресурс труда;
K – затраченный ресурс капитала;
A – общая продуктивность факторов производства;
, - эластичность труда и капитала.
Параметры и играют важную роль при расчете предполагаемого объема выпуска продукции. Эластичность факторов производства отражает пропорцию, при которой изменение соотношения производственных факторов повлияет на процесс производства при прочих равных условиях [5, c.69].
Необходимо рассмотреть три возможных случая значения, которые могут принимать коэффициенты эластичности в формуле:
1) α+β=1, соотношение характеризует постоянную отдачу от масштаба, например, при росте затраченного труда и капитала на 100%, объем производства возрастет на те же 100%, то есть в два раза. Производственная функция является линейно однородной;
2) α+β>1, соотношение характеризует возрастающую отдачу от масштаба, например, при росте затраченного труда и капитала на 100%, объем производства возрастет, допустим, на 120%, то есть более чем в два раза;
3) α+β < 1, соотношение характеризует уменьшающуюся отдачу от масштаба [6, c.241].
Национальная экономика представляет собой сложную систему, состоящую из множества компонентов и их взаимодействия, вследствие чего построение идеальной модели, не принимаемой во внимание влияние каких-либо посторонних факторов просто невозможно. Так и модель Кобба-Дугласа имеет ряд критических замечаний в свой адрес, которые можно разделить на две сферы:
1) Анализ размерностей. Представители австрийской школы экономики критиковали модель Кобба-Дугласа из-за отсутствия точных показателей. Они утверждали, что в формуле отсутствуют значимые и экономически правильные меры измерения.
2) Отсутствие микроэкономических оснований. Факторы производственной функции Кобба-Дугласа не были разработаны на основе знания инжиниринга, технологии или управления процессом выпуска [7, c.24]. Напротив, ее стали использовать потому, что у нее были красивые математические характеристики, в частности, закон убывающей полезности каждого из факторов и свойство, что расход на производство – это постоянная доля от общей стоимости. И для этого нет микроэкономических оснований.
Но несмотря на всю критику, функция получила достаточно широкое распространение в экономической теории. Она может быть применена и для нахождения полезности (u). Если предполагается, что х1 и х2- объемы потребления первого и второго благ (товаров), то функция полезности примет вид: u=x1α*x2.
Для доказательства полезности и простоты применения производственной функции Кобба-Дугласа на практике решим задачу.
Условие. Пусть производственная функция есть функция Кобба-Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на а = 6%, надо увеличить основные фонды на b = 9% или численность работников c = 12%. В настоящее время один работник за месяц производит продукции на М = 210 руб., а всего работников L = 2000. Основные фонды оцениваются в K = 200 руб. Найти производственную функцию У.
Решение. Найдем коэффициенты б и в:
б = а/b = 6/9 = 1/3
в = а/с = 6/12 = 1/2.
Следовательно,
Y = 〖aK〗^(1/3)*L^(1/2)
Для нахождения a подставим в эту формулу значения K, L, M, имея в виду, что Y= ML = 2000*210 = 420000.
Отсюда a = 1591 (при округлении результата).
Ответ. Таким образом, производственная функция примет вид Y=1591*K^(1/3)*L^(1/2).
Итак, производственная функция Кобба-Дугласа служит для соотношения фактического выпуска производства с ресурсами, которые были вложены для его получения. Она используется для определения предельного продукта и общей эффективности производства, которая является объектом всех экономических исследований, ведь показывает, насколько производитель умеет рационально и оптимально вести свое дело.
1. Александров Д.Г., Громыко В.В., Журавлева Г.П. Экономическая теория: макроэкономика -1, 2, метаэкономика, экономика трансформаций: учеб/ под общ. ред. Г.П. Журавлевой.- Москва: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2016. - 919 с.
2. Колемаев В. А. Математическая экономика: учебник. - Москва: Юнити-Дана, 2015. - 399 с.
3. Колемаев В.А. Математические методы и модели исследования операций: учебник. - Москва: Юнити-Дана, 2015. - 592 с.
4. Кузнецов Б. Т. Макроэкономика: учебное пособие. - Москва: Юнити-Дана, 2015. - 463 с. 128
5. Кундышева Е. С. Математические методы и модели в экономике: учебник. - Москва: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2017. - 286 с.
6. Орлова И.В., Тармаш А.Н., Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебное пособие. - Москва: Юнити-Дана, 2015. - 302 с.
7. Шандра И. Г. Математическая экономика: учебник для студентов бакалавриата и магистратуры экономических вузов и факультетов. - Москва: Прометей, 2018. - 176 с.
